ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MathCAD ПРИ РАСЧЕТЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЧАСТИ ЛОКОМОТИВОВ
l
Оглавление l Назад l Далее lАппроксимация функций
При математическом моделировании часто требуется представить некую зависимость, заданную отдельными точками, в виде гладкой функции. Исходные точки могут быть заданы с ошибками. В этом случае целесообразно применить аппроксимацию исходных данных методом наименьших квадратов. Выбор аппроксимирующей функции
во многом определяется физикой описываемого процесса. Если известен вид аппроксимирующей функции, то задача сводится к отысканию коэффициентов, входящих в функцию.
Если неизвестен вид аппроксимирующей функции, то часто используют полином степени N. При этом, чем меньше N, тем более гладкую функцию получим на выходе. Увеличение N приводит к приближению к исходным точкам.
Рассмотрим аппроксимацию исходных данных полиномом с использованием пакета MATHCAD (пример 8).
Исходные данные зададим в виде степенной функции со случайными отклонениями, для чего используется функция rnd(A), где А – максимальный разброс.
В качестве аппроксимирующей функции используем полином третьей степени. Для задания вида аппроксимирующей функции применим символьный вектор f(x), элементы которого содержат переменную по возрастанию степеней.
Для поиска коэффициентов полинома по методу наименьших квадратов используем встроенную функцию linfit(X,Y,f), где в качестве параметров передаются векторы исходных данных и символьный вектор функции.
Результирующая функция формируется в виде Fр(x) = a
.f(x).Следует обратить внимание на построение графика исходных данных и результирующей функции.
Студентам предлагается изменить исходные данные и вид аппроксимирующей функции, провести анализ полученных результатов.
Сплайн-аппроксимация и представление функций, заданных на интервалах
Одним из приложений аппроксимации является замена сложной нелинейной функции более простым выражением для ускорения вычислений. В качестве универсального подхода может быть рекомендована аппроксимация сплайн-функциями. В этом случае узлы (заданные точки) соединяются отрезками кубических парабол. Основное требование к сплайну - непрерывность функции и ее производной в узлах.
В пакете MATHCAD есть две встроенные функции:
csline(X, Y) - для вычисления коэффициентов сплайн-аппроксимации по заданным координатам точек.
interp(V, X, Y, xi) - для интерполяции в точке xi значений сплайн-функции, заданной узлами X,Y и коэффициентами сплайн-функции V.
В примере 9 приведен вариант аппроксимации двух зависимостей: ограничения по сцеплению и тяговой характеристики электровоза типа ВЛ80с.
Каждая зависимость аппроксимируется сплайн-функциями по заданным точкам. Для корректного соединения двух полученных функций используется единичная функция Хевисайда Ф(х), которая при х<0 равна нулю, а при x
і0 равна единице. В примере результирующая функция при х<Vp равна первой функции - ограничению по сцеплению, а при xіVp равна второй функции - тяговой характеристике, где Vp – заданная величина.Студентам предлагается ввести свои данные для аппроксимации, провести анализ результатов. Следует обратить внимание на задание пределов изменения аргумента при построении графика результирующей функции. Отработать технику изменениям параметров графика.
l
Оглавление l Назад l Далее l