ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MathCAD ПРИ РАСЧЕТЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЧАСТИ ЛОКОМОТИВОВ

Численное решение нелинейных уравнений

Обратим внимание на неочевидные ситуации, связанные с используемыми в пакете MATHCAD численными методами решения.

Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений в пакете предлагаются две функции: FIND, MINERR. Обе функции доставляют решение системе уравнений при заданном векторе начальных приближений. Разработчики пакета указывают, что решение производится методом Левенберга-Марквардта. Этот метод пытается найти нули или минимум среднеквадратичной погрешности при решении заданной системы уравнений или системы неравенств. При решении с применением аппарата комплексных чисел раздельно решаются действительная и мнимая части уравнений.

При решении вычисляется также вектор невязки. Если его величина меньше TOL (переменная MATHCAD), система возвращает вектор переменных-неизвестных. Если для решения используется функция find, при величине вектора невязки больше TOL система сообщает: "решение не найдено". Когда используется функция minerr, вектор неизвестных возвращается даже в том случае, когда значение вектора невязки больше TOL. Наконец, если не обнаружено схождение за заданное число итераций, выдается сообщение об отсутствии сходимости (как при применении функции find, так и minerr). В любых случаях величина вектора невязки определяется значением переменной ERR.

Обе функции находят ближайшее решение. Для проверки существования других вариантов решения рекомендуется задать различные начальные приближения независимой переменной.

Отсутствие решения не означает, что решения нет. Чаще всего следует изменить начальные приближения. Поэтому для функций, имеющих так называемую область притяжения решения, остается проблема выбора вектора начальных приближений. Выходная информация при любом варианте отсутствия решения или при некорректном использовании в уравнениях нелинейных функций ограничена сообщением типа “решение не может быть найдено”.

Рассмотрим решение нелинейного алгебраического уравнения

x³ - 2^.x - 5 = 0.

График функции (пример 5) показывает, что уравнение имеет только одно решение. Однако решение может быть получено не при всех начальных приближениях, а только при тех, что попадают в область притяжения решения. Изменяя значения начального приближения, можно убедиться, что при значениях x<0.8 выводится сообщение “did not find solution” (“решение не найдено”). В этом случае это не погрешность метода, а особенность решаемого уравнения.

Для уравнений и систем такого типа необходимо каким-либо способом найти предположительное расположение корней, а затем, используя численные методы найти, точное решение. Одним из способов исследования свойств системы является графическое представление основных функций. MATHCAD представляет для этого большие возможности.

l Оглавление l Назад l Далее l

Используются технологии uCoz