УДК 629.4.015:625.031.3
В.Г. Рубан
Применение пакета MATHCAD в нелинейных задачах движения экипажей в кривых
Тез. докл. 59-й вуз. научно-техн. конф. профессорско-преподав. состава "Транспорт-2000" / РГУПС, Ростов н/Д, 2000, с.125.
Одним из ярких представителей современных интегрированных математических пакетов для персональных компьютеров является MATHCAD фирмы MathSoft. Пакет объединяет редактор математических формул, интерпретатор для вычислений, графические средства представления результатов и ряд других полезных инструментов. Важным достоинством пакета является наличие большой библиотеки встроенных функций, реализующих многие необходимые инженеру-исследователю численные методы. В результате в одном документе объединяется ряд необходимых этапов математического моделирования: исходные данные, математическое описание, метод решения, результаты и комментарии. Однако при кажущейся простоте и удобстве решения простых задач, решение некоторых плохо обусловленных задач транспортной механики сопряжено с рядом проблем вычислительного характера.
Математические модели горизонтальных колебаний экипажей локомотивов содержат существенные нелинейности. К ним относятся нелинейные зависимости процессов трения, включая взаимодействие колес и рельсов, нелинейные характеристики связей в экипаже, профиль колеса и др. Успешное решение задачи в пакете MATHCAD во многом зависит от корректного описания всех функций. При этом предпочтение отдается аналитическому виду, а не изощренным программным блокам. Для описания нелинейных характеристик часто используют функции: модуль, sign, единичная функция Хевисайда, с помощь которых описывают кусочно-линейные характеристики или разрывные функции.
Устойчивость вычислительного процесса во многом определяется выбором начальных условий. Иногда при решении систем нелинейных алгебраических уравнений методами, включенными в пакет, правильное решение не достигается, если начальные условия заданы вблизи разрывов функции. Может быть получено постороннее решение, при котором не достигается требуемая точность, или выводится сообщение о
невозможности найти решение. Такие ситуации возникают при решении задач вписывания в кривые участки пути локомотивов с учетом нелинейных связей.При решении систем дифференциальных уравнений, описывающих горизонтальные колебания локомотива, наблюдается выход на посторонний неустойчивый режим даже при использовании методов с автоматическим выбором шага интегрирования.
Предложены варианты аналитических выражений для описания кусочно-линейных и разрывных функций в пакете MATHCAD с возможностью сглаживания.
Эти выражения использовались при моделировании установившегося движения в кривых экипажей локомотивов различных типов. В частности, при описании зависимости направляющей силы в кривой от перемещения колесной пары в колее, при описании характеристик связей, имеющих свободный ход или преднатяг. Разработана методика, позволяющая наращивать размерность системы и построить ряд моделей для исследования вписывания в кривые локомотива: от упрощенной жесткой тележки до полной системы с нелинейными связями.
Предложенный подход может быть использован при сравнительном исследовании на математических моделях вариантов ходовой части новых и существующих локомотивов.