Вертикальная динамика двухмассовой
системы
Математическая модель свободных
колебаний
Решение в системе MATHCAD задачи о
свободных колебаниях
Решение в системе MATHCAD задачи о
вынужденных колебаниях
Движение по сложной
детерминированной неровности
Вертикальная динамика двухмассовой системы
Расчетная схема
Применяя понятия математического моделирования к динамической системе «экипаж-путь», отметим, что модель должна отражать основные свойства исследуемого объекта в такой степени, в какой это необходимо для оценки динамических качеств экипажа.
При исследовании динамических систем рассматривают свободные и вынужденные колебания.
Для исследования влияния основных параметров экипажа на вертикальные колебания используют упрощенную модель с двумя степенями свободы, в которой две массы связаны упругими и диссипативными связями (рис.1). Такая модель описывает вертикальные колебания рельсовых экипажей с двухъярусным подвешиванием: магистральных локомотивов (электровозов и тепловозов) и пассажирских вагонов.
Рис.1. Расчетная схема
Уравнения движения
Уравнения движения рассматриваемой системы описывается следующими дифференциальными уравнениями:
(1)
В уравнениях (1) введены следующие обозначения:
m1 – обрессоренная масса тележки;
m2 – масса кузова, приведенная к одной тележке;
с1, b1 – жесткость и демпфирование в первом ярусе подвешивания;
с2, b2 – жесткость и демпфирование во втором ярусе подвешивания;
h(t) – возмущение со стороны пути;
– обобщенные координаты и их производные
по времени:
Математическая модель свободных колебаний
Рассмотрим свободные колебания системы при заданном начальном отклонении от положения равновесия. На практике такая ситуация моделируется для вновь проектируемых локомотивов во время натурных испытаний – сбрасывание с клиньев опытного образца. Свободные колебания показывают собственные частоты системы и степень ee демпфирования.
Уравнения свободных колебаний получим из (1), приравняв правые части уравнений нулю:
(2)
Для численного решения системы дифференциальных уравнений приведем исходную систему (2) к форме Коши, получим:
(3)
Начальные условия зададим в виде:
Решение в системе MATHCAD задачи о свободных колебаниях
Решим полученную систему (3) в системе MATHCAD.
Заменим обобщенные переменные системы (математические переменные) переменными MATHCAD (часто называемые машинными переменными), учитывая, что индексы в MATHCAD изменяются от нулевого значения:
Для новых переменных уравнения движения в форме Коши имеют вид:
(4)
Для решения в пакете MATHCAD дифференциальные уравнения в форме Коши (4) должны быть записаны в символьную функцию. В приведенной ниже программе это функция D(t,x), правая часть – вектор, имеющий размерность решаемой системы.
Рис. 2. Фрагмент документа MATHCAD
Константы, входящие в функцию D(t,x), должны быть определены до их использования (см. блок «исходные данные» в прилагаемом документе MATHCAD). Исходные данные в примере соответствуют экипажу электровоза ВЛ80с.
Для численного решения в пакете MATHCAD версии 7.0 pro используются функции:
rkfixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом,
Rkadapt – адаптивный метод с автоматическим выбором шага.
В пакете MATHCAD 2000 pro список функций для численного решения систем дифференциальных уравнений расширен. Особенности этой версии будут рассмотрены ниже.
Рассмотрим построение вычислительной схемы на примере метода Рунге-Кутта с фиксированным шагом.
Метод Рунге-Кутта устойчив для решения многих задач динамики и обычно решение многих проблем начинают с него. В задачах динамики шаг интегрирования выбирают исходя из наибольшей парциальной частоты в системе. Для контроля точности решения рекомендуют уменьшить шаг интегрирования.
Для нашей задачи выбран интервал интегрирования t = 0 … 2 (переменные t0, t1). Количество точек на интервале N = 400. При этом шаг интегрирования h = 0.005.
Начальные условия задаются в виде вектора x.
Решение формируется в виде матрицы R, содержащей в столбцах: независимую переменную (время), далее – выбранные обобщенные переменные (рис. 3).
Рис. 3. Фрагмент документа MATHCAD
Для вывода результатов введены новые переменные (векторы T, Z1, Z2, V1, V2), которым присвоено значение столбцов матрицы результатов решения.
Результаты представлены в графическом виде
- перемещения в зависимости от времени (пример на рис.4);
- скорости в зависимости от времени;
- фазовые диаграммы.
Как видно из рис 4. система имеет две собственные частоты колебаний. Колебания с более высокой частотой затухают быстрее (для принятых исходных данных). Особенностью подвешивания железнодорожных экипажей является большое демпфирование.
На полученной модели в пакете MATHCAD можно исследовать влияние параметров подвешивания на собственные колебания. При изменении исходных данных система пересчитывает связанные с ними формулы.
Рис. 4. Фрагмент документа MATHCAD
Документ MATHCAD, реализующий описанную технологию моделирования.
<<Dyn001.mcd>>
Решение в системе MATHCAD задачи о вынужденных колебаниях
Для решения системы уравнений вынужденных колебаний системы (1) проведем замену переменных:
Уравнения вынужденных колебаний системы в форме Коши с учетом замены переменных запишем в виде:
(5)
Начальные условия:
Полученная система (5) отличается от рассмотренной выше системы (4) наличием переменных, описывающих возмущение от неровностей пути под колесом.
Для исследования вынужденных колебаний используются различные виды возмущений со стороны пути: дискретные, детерминированные, стохастические.
Кинематическое возмущение со стороны пути может быть задано
функцией 
и ее производной.
Рассмотрим решение задачи о вынужденных колебаниях при гармоническом возмущении.
Структура документа MATHCAD в этом случае подобна документу,
описывающему свободные колебания. Для описания гармонического возмущения
введена функция 
. Производная 
обозначена как
функция 
. При сложном виде функции возмущения ее производная может
быть вычислена с помощью символьных преобразований MATHCAD.
Решение проведено при нулевых начальных условиях. Для решения использован адаптивный метод – функция Rkadapt (рис. 5). Для гладких функций это метод затрачивает меньше времени для получения решения по сравнению с методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом.
Рис. 5. Фрагмент документа MATHCAD
Результаты решения удобно представлять в виде фазовой диаграммы, представляющей зависимость скорости парциальной массы от ее линейного перемещения (рис. 6). Полученное решение показывает, что после переходного процесса устанавливаются колебания постоянной амплитуды с частотой возмущения.
Анализ решения показывает, что амплитуда колебаний зависит от частоты возмущения, следовательно, от скорости движения.
Рис. 6. Фрагмент документа MATHCAD
Изменяя скорость движения можно определить критические скорости и соответствующие им максимальные перемещения в системе подвешивания. Изменяя параметры подвешивания можно наметить пути уменьшения негативных явлений.
Описанный выше подход иногда называют прямым моделированием, иногда – решением «в лоб». Решение задачи методом прямого численного интегрирования дифференциальных уравнений движения позволяет оценить основные процессы, протекающие в системе при различном внешнем воздействии. Преимуществом такого подхода (в первую очередь перед аналитическим) является то, что в систему легко вводятся нелинейные функции. Структура модели при этом не меняется. Упрощенная модель в дальнейшем развивается и дополняется, а результаты моделирования служат начальной оценкой для более сложных моделей.
Документ MATHCAD решения задачи о возмущенном движении
<<Dyn002.mcd>>
Движение по сложной детерминированной неровности
Одним из вариантов возмущения, используемого при исследованиях вертикальных колебаний, является так называемая «двугорбая» неровность, предложенная проф. Н.Н.Кудрявцевым. Неровность хорошо описывает изменение прогиба вдоль рельсового звена. Период повторения неровности соответствует длине рельсового звена (рис. 7). Ниже рассматривается неровность длиной 25 м. Производная от функции возмущения получена с использованием символьных преобразований. Отметим, что в пакете MATHCAD нет функции sign(x), поэтому введена функция пользователя.
Рис. 7. Фрагмент документа MATHCAD
Модель неровности представляет
собой сумму полуволны синусоиды частотой 
и трех полуволн
синусоиды частотой 
, уложенные на длине рельсового звена (рис. 8). Амплитуды
неровностей выбираются в зависимости от типа и состояния пути. Для вывода на одном
поле графика зависимостей вертикальной неровности и ее производной от пути
использованы различные масштабы (см. множители перед переменными по оси
ординат).
Рис. 8. Фрагмент документа MATHCAD
Численное решение вынужденных колебаний системы при возмущении составной «двугорбой» неровностью показывает, что колебания в первом ярусе носят нелинейный характер. Устойчивые циклы колебаний видны на фазовых диаграммах (рис. 9). Рассматриваемая модель возмущения – несимметричная, поэтому колебания происходят относительно оси, смещенной на 4 мм. Изменение скорости влияет на амплитуду колебаний.
Рис. 9. Фрагмент документа MATHCAD
Документ MATHCAD решения задачи о возмущенном движении по «двугорбой» неровности.
<<Dyn003.mcd>>